Question

已知i为虚数单位，复数z=i+i²+i³+…+i²⁰¹¹，则复数z的模为

1

．

Answer 1

分析：根据题意，由等比数列的定义可得i、i²、i³、…、i²⁰¹¹是i为首项，i为公式的等比数列，再由等比数列的前n项和公式可得Z=i+i²+i³+…+i²⁰¹¹=

i(1-i2011)

1-i

，由复数的运算法则可得Z=-1，计算Z的模，即可得答案．

解答：解：根据题意，i、i²、i³、…、i²⁰¹¹是i为首项，i为公式的等比数列，
则Z=i+i²+i³+…+i²⁰¹¹=

i(1-i2011)

1-i

，
又由i^4n-1=-i，
则Z=i+i²+i³+…+i²⁰¹¹=

i(1-i2011)

1-i

=

i(1+i)

1-i

=-1，
则复数z的模为1；
故答案为1．

点评：本题考查复数模的计算，要掌握虚数单位i的性质，即i⁴ⁿ=1，i^4n-1=-i，i^4n-2=-1，i^4n-3=-i．