Question

计算的最值时，我们可以将化成，再将分式分解成，然后利用基本不等式求最值；借此，计算使得对一切实数x都成立的正实数c的范围是    ．

Answer 1

【答案】分析：由题意，将不等式的左边进行分离为，这是积为定值的两个式子的和．在x²+c=1时，即x²=-c+1≥0，它的最小值为2．此时c∈（0，1]．接下来讨论当c＞1时和0＜c≤1的两种情况下不等式左边的最小值，再解这个最小值大于或等于，最后可得正实数c的范围．
解答：解：根据已知条件给出的模型，得到启发：

=
当且仅当时等号成立，此时x²+c=1
①当c＞1时，x²+c＞1，以上不等式的等号不能成立，
所以的最小值应该是x=0时的值，即
因此不等式对一实数x都成立，符合题意．
②当0＜c≤1时，
若要使得对一切实数x都成立
必须有：2成立，可得
⇒⇒c=1
综上所述，c∈[1，+∞）
故答案为：[1，+∞）
点评：本题以不等式恒成立和函数的最值为载体，考查了类比推理的方法，属于中档题．归纳推理与类比推理都属于合情推理，是数学发现的常用推理过程．