Question

【题目】已知函数f（x）=ax2﹣2ax+2+b，（a≠0），若f（x）在区间[2，3]上有最大值5，最小值2．
（1）求a，b的值；
（2）若b＜1，g（x）=f（x）﹣mx在[2，4]上为单调函数，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由于函数f（x）=ax2﹣2ax+2+b=a（x﹣1）2+2+b﹣a，（a≠0），对称轴为x=1，

当a＞0时，函数f（x）在区间[2，3]上单调递增，由题意可得 ，

解得 ．

当a＜0时，函数f（x）在区间[2，3]上单调递减，由题意可得 ，

解得 ．

综上可得， ，或

（2）解：若b＜1，则由（1）可得 ，g（x）=f（x）﹣mx=x2﹣（m+2）x+2，

再由函数g（x）在[2，4]上为单调函数，可得 ≤2，或 ≥4，

解得 m≤2，或m≥6，

故m的范围为（﹣∞，2]∪[6，+∞）

【解析】（1）根据函数的解析式不难得出其对称轴为x=1，对a进行分类讨论，当a＞0时f（2）=2，f（3）=5，当a＜0时f（2）=5，f（3）=2，解出a，b，（2）当b小于1时，由（1）可得，a=1，b=0，写出g（x）的解析式，根据二次函数的单调性解出m的取值范围.
【考点精析】认真审题，首先需要了解函数单调性的性质(函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集)，还要掌握二次函数在闭区间上的最值(当时，当时，；当时在上递减，当时，)的相关知识才是答题的关键．