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如图,四棱锥中,四边形为矩形,为等腰三角形,,平面 平面,且分别为的中点.

(Ⅰ)证明:平面
(Ⅱ)证明:平面平面
(Ⅲ)求四棱锥的体积.

(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)详见解析;(Ⅲ).

解析试题分析:(Ⅰ)证明线面平行,一般可考虑线面平行的判定定理,构造面外线平行于面内线,其手段一般是构造平行四边形,或构造三角形中位线(特别是有中点时),本题易证从而达到目标;(Ⅱ)要证面面垂直,由面面垂直的判定定理知可先考察线面垂直,要证线面垂直,又要先考察线线垂直;(Ⅲ)求棱锥的体积,关键是作出其高,由面为等腰直角三角形,易知中点为),就是其高,问题得以解决.

试题解析:(Ⅰ)证明:如图,连结
∵四边形为矩形且的中点.∴也是的中点.
的中点,                       2分
平面平面,所以平面;      4分
(Ⅱ)证明:∵平面 平面,平面 平面
所以平面 平面,又平面,所以       6分
是相交直线,所以 
平面,平面平面;            8分
(Ⅲ)取中点为.连结,为等腰直角三角形,所以
因为面且面
所以,
为四棱锥的高.      10分 
.又
∴四棱锥的体积    12分
考点:空间中线面的位置关系、空间几何体的体积.

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(Ⅰ)求证: 平面
(Ⅱ)求二面角的余弦值.

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(I)若的中点,求证平面
(II)求三棱锥的体积.

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