Question

11．已知|log_π$\frac{α}{π}$|＜2（α为常数），求使函数f（x）=sin（x+α）+cos（x-α）为偶函数的α的个数，并求所有这些α的和．

Answer 1

分析 根据不等式求出α的取值范围，结合函数f（x）是偶函数，进行求解即可．

解答 解：由|log_π$\frac{α}{π}$|＜2得-2＜log_π$\frac{α}{π}$＜2，
即log_π$\frac{1}{{π}^{2}}$＜log_π$\frac{α}{π}$＜log_ππ²，
即$\frac{1}{{π}^{2}}$＜$\frac{α}{π}$＜π²，
即$\frac{1}{π}$＜α＜π³，
由f（x）=sin（x+α）+cos（x-α）是偶函数，
∴f（-x）=f（x），
即sin（-x+α）+cos（-x-α）=sin（x+α）+cos（x-α），
即-sinxcosα+cosxsinα+cosxcosα-sinxsinα=sinxcosα+cosxsinα+cosxcosα+sinxsinα，
-sinxcosα-sinxsinα=sinxcosα+sinxsinα，
即-sinx（sinα+cosα）=sinx（sinα+cosα），
则必有sinα+cosα=0，
即tanα=-1，即α=-$\frac{π}{4}$+kπ，k∈Z，
当k=1，则α=$\frac{3π}{4}$，
当k=2，则α=$\frac{7π}{4}$，
当k=3，则α=$\frac{11π}{4}$，
当k=4，则α=$\frac{15π}{4}$，
当k=5，则α=$\frac{19π}{4}$，
当k=6，则α=$\frac{23π}{4}$，
当k=7，则α=$\frac{27π}{4}$，
当k=8，则α=$\frac{31π}{4}$，
当k=9，则α=$\frac{35π}{4}$，
当k=10，则α=$\frac{39π}{4}$＞π³，
此时不成立，故满足条件的α的个数有9个，
故所有这些α的和为$\frac{3π}{4}$+$\frac{7π}{4}$+$\frac{11π}{4}$+$\frac{15π}{4}$+$\frac{19π}{4}$+$\frac{23π}{4}$+$\frac{27π}{4}$+$\frac{31π}{4}$+$\frac{35π}{4}$+$\frac{39π}{4}$=$\frac{1}{4}$×$\frac{（3π+39π）×10}{2}$=$\frac{105π}{2}$．

点评 本题主要考查函数奇偶性的应用，以及三角函数的化简，考查学生的运算能力．