已知数列,满足
,
,
(1)求的值;
(2)猜想数列 的通项公式
,并用数学归纳法证明;
(3)己知,设
,记
,求
.
(1);;(2)
,证明见解析;(3)3..
解析试题分析:(1)这属于已知数列的递推关系式,求数列的项的问题,我们只要在已知递推关系式中依次令就可以依次求出
;(2)用归纳法归纳数列的通项公式,我们可以由数列的前几项
想象各项与项数
之间的联系,如
,
,
,
,
从而归纳出结论
,然后数学归纳法证明,这里数学归纳法的基础即第一步已经不需另证了,关键是第二步,假设
时,
,然后由已知条件求出
,那么结论就是正确的;(3)按常规方法,先求
,
,接着求数列
的前
项和
,根据其通项公式的形式(它是一个等差数列所一个等比数列对应项相乘所得),求和用乘公比经错位相减法,求得
,然后借助已知极限
可求出极限
.
试题解析:(1),
∴.
,分别令
,可得
,
(2)猜想数列的通项公式为
.用数学归纳法证明如下:
证明 (i)当时,由(1)知结论成立;当
时,
,结论成立.
(ii)假设时,结论成立,即
.
当时,
.
所以,,即
时,结论也成立.
根据(i)和(ii)可以断定,结论对一切正整数
都成立.
(3)由(2)知,,
. 于是,
,
.
所以,.
考点:(1)数列的项;(2)数学归纳法;(3)借位相减法,极限.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
根据如图所示的程序框图,将输出的x,y值依次分别记为x1,x2,…,xk,…;y1,y2,…,yk,….
(1)分别求数列{xk}和{yk}的通项公式;
(2)令zk=xkyk,求数列{zk}的前k项和Tk,其中k∈N*,k≤2 007.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
若S是公差不为0的等差数列
的前
项和,且
成等比数列。
(1)求等比数列的公比;
(2)若,求
的通项公式;
(3)设,
是数列
的前
项和,求使得
对所有
都成立的最小正整数
。
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