Question

8．已知函数f（x）=log₄（ax²+2x+3），若f（1）=1，求f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 由f（1）=log₄（a+2+3）=1，求得a=-1，令t=-x²+2x+3＞0，求得x的范围，可得函数f（x）的定义域，本题即求函数t在定义域内的单调性；再利用二次函数的性质得出结论．

解答 解：函数f（x）=log₄（ax²+2x+3），根据f（1）=log₄（a+2+3），a=-1，
故 f（x）=log₄（-x²+2x+3）．
令t=-x²+2x+3＞0，求得-1＜x＜3，故函数f（x）的定义域为（-1，3），
f（x）=g（t）=log₄t，本题即求函数t在定义域内的单调性．
在（-1，1]上，函数t为增函数，故函数f（x）的增区间为（-1，1]；
在（1，3）上，函数t为减函数，故函数f（x）的减区间为（1，3）．

点评 本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．