Question

已知函数f(x)=

ax(x＜0) (a-3)x+4a(x≥0)

满足对任意x₁≠x₂，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0成立，则a的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：先根据题设不等式判断出函数为减函数，然后分别看x＜0和x≥时a的范围，同时还要保证整个R上f（x）均为减函数，进而利用在x趋近于0的时候，a^x≥（a-3）x+4a，通过极限法求得a的范围，最后综合可得a的范围．

解答：解：对于不等式

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0
当x₁＜x₂时，就有：x₁-x₂＜0
所以：f（x₁）-f（x₂）＞0
即说明函数f（x）在定义域R内为减函数 ①
当x＜0时，f（x）=a^x
所以，f'（x）=a^xlna＜0
则0＜a＜1…（1）②
当x≥0时，f（x）=（a-3）x+4a
所以，f'（x）=a-3＜0
则a＜3…（2）
而，要保证在整个R上f（x）均为减函数
所以：在x趋近于0的时候，a^x≥（a-3）x+4a

lim

x→0

f（x）=

lim

x→0

a^x=1
f（x）=

lim

x→0

（a-3）x+4a=4a
所以，1≥4a
则，a≤

1

4

…（3）
联立（1）（2）（3）得到：
0＜a≤

1

4

故答案为：（0，

1

4

]

点评：本题主要考查了函数单调性的性质．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．属中档题．