Question

【题目】设函数f（x）=ln（1+x），g（x）=xf′（x），x≥0，其中f′（x）是f（x）的导函数．
（1）g1（x）=g（x），gn+1（x）=g（gn（x）），n∈N+ ， 求g1（x），g2（x），g3（x），并猜想gn（x）的表达式（不必证明）；
（2）若f（x）≥ag（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（3）设n∈N+ ， 比较g（1）+g（2）+…+g（n）与n﹣f（n）的大小，并用数学归纳法加以证明．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）= ，g（x）= ，

∴

猜想：gn（x）= （x≥0）

（2）解：令h（x）=f（x）﹣ag（x）=ln（1+x）﹣ （x≥0），

∵f（x）≥ag（x）恒成立，∴hmin（x）≥0．

h′（x）= ﹣ = ，

令h′（x）＞0得x＞a﹣1，

当a﹣1≤0即a≤1时，h（x）在[0，+∞）上单调递增，

∴hmin（x）=h（0）=0，符合题意；

当a﹣1＞0即a＞1时，h（x）在[0，a﹣1）上单调递减，在[a﹣1，+∞）上单调递增，

∴hmin（x）=h（a﹣1）=lna﹣a+1，

令φ（a）=lna﹣a+1（a＞1），则φ′（a）= ﹣1＜0，

∴φ（a）在（1，+∞）上单调递减，

∴φ（a）＜φ（1）=0，

即hmin（x）＜0，不符合题意．

综上，a的取值范围是（﹣∞，1]

（3）解：g（1）= ，1﹣f（1）=1﹣ln2，

∵ln2＞ln = ，∴1﹣ln2＜ ，即g（1）＞1﹣f（1），

猜想：

证明如下：

（i）当n=1时，显然猜想成立；

（ii） 假设n=k时， 成立，

当n=k+1时，左边=

欲证左边＞右边，

即证： ，

即证：

由（2）中的结论，令a=1得不等式：

所以 成立

即n=k+1时，猜想成立．

由（i） （ii） 对一切n∈N+，不等式 成立

【解析】（1）求出g（x）的解析式，依次计算即可得出猜想；（2）令h（x）=f（x）﹣ag（x）=ln（1+x）﹣ （x≥0），对a进行讨论，求出h（x）的最小值，令hmin（x）≥0恒成立即可；（3）比较g（1）与1﹣f（1）猜测大小关系，利用（2）的结论进行证明．
【考点精析】掌握归纳推理和数学归纳法的定义是解答本题的根本，需要知道根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理；数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法．