Question

已知|

a

|=4，|

b

|=3，（2

a

-3

b

）•（2

a

+

b

）=61．
（1）求

a

与

b

的夹角为θ；
（2）求|

a

+

b

|；
（3）若

AB

=

a

，

AC

=

b

，作三角形ABC，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）由，（2

a

-3

b

）•（2

a

+

b

）=61，可求得

a

•

b

=-6，利用向量夹角公式可得θ；
（2）可先平方转化为向量的数量积．
（3）由（1）知∠BAC=θ=120°，利用三角形面积公式可得答案；

解答：解：（1）由（2

a

-3

b

）•（2

a

+

b

）=61，得4|

a

|²-4

a

•

b

-3|

b

|²=61，
∵|

a

|=4，|

b

|=3，代入上式求得

a

•

b

=-6．
∴cos θ=

a • b

| a || b |

=

-6

4×3

=-

1

2

．
又θ∈[0，π]，∴θ=120°．
（2）∵|

a

+

b

|²=（

a

+

b

）²=|

a

|²+2

a

•

b

+|

b

|²
=4²+2×（-6）+3²=13，∴|

a

+

b

|=

13

．
（3）由（1）知∠BAC=θ=120°，
|

AB

|=|

a

|=4，|

AC

|=|

b

|=3，
∴S_△ABC=

1

2

|

AC

||

AB

|sin∠BAC
=

1

2

×3×4×sin 120°=3

3

．

点评：本题考查向量的模、用数量积求向量夹角、三角形面积公式等知识，属中档题．