Question

（2012•湖北模拟）已知数列{a_n}满足：a₁=-5，a_n+1=2a_n+3n+1，已知存在常数p，q使数列{a_n+pn+q}为等比数列．
（1）求常数p、q及{a_n}的通项公式；
（2）解方程a_n=0．
（3）求|a₁|+|a₂|+…+|a_n|．

Answer 1

分析：（1）假设存在，利用等比的性质建立方程，根据同一性求参数的值，即可求解
（2）计算可求a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，猜测n≥5，a_n＞0，然后利用数学归纳法进行证明，结合计算即可求解满足条件的n
（3）由（2）可得，当n≤3时，a_n＜0，当n≥4时，a_n＜0，结合（1）可求答案

解答：解：（1）由条件令，a_n+1+p（n+1）+q=k（a_n+pn+q），
则：a_n+1=ka_n+（kp-p）n+kq-q-p
故：

k=2 kp-p=3 kq-q-p=1

⇒

k=2 p=3 q=4

又a₁+p+q=2
∴an+3n+4=2•2n-1，∴an=2n-3n-4（5分）
（2）计算知a₁=-5，a₂=-6，a₃=-5，a₄=0，a₅=13，
故猜测n≥5，a_n＞0即2ⁿ＞3n+4，下证．
（i）当n=5成立
（ii）假设n=k（k≥5）成立，即2^k＞3k+4
那么2^k+1＞2•（3k+4）=6k+8＞(0，

2

2

)
故n=k+1成立．
由（i）、（ii）可知命题成立．
故a_n=0的解为n=4．（4分）
（3）由（2）可得，当n≤3时，a_n＜0，当n≥4时，a_n＜0，
故当n≤3时，|a₁|+…+|a_n|=-（a₁+…+a_n）=-（2ⁿ⁺¹-

3n2+11n+4

2

）
当n≥4时，
|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=-（a₁+a₂+a₃）+a₄+a₅+…+a_n=a₁+a₂+…+a_n-2（a₁+a₂+a₃）
=2n+1-

3n2+11n+4

2

-2•(-16)=2n+1-

3n2+11n-60

2

（4分）

点评：本题考查等比关系的确定，分组求和方法及等差数列、等比数列的求和公式的应用，数学归纳法的应用是解答（2）的关键，