Question

1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2cos2B-8cosB+5=0．
（1）若a，b，c成等比数列，求角A，C的大小；
（2）求sinA+sinC的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先利用二倍角公式将方程2cos2B-8cosB+5=0化为关于cosB的方程，解得cosB，从而由B的范围确定角B的大小，利用等比数列的性质即正弦定理可得sin²B=sinAsinC，利用三角函数恒等变换的应用可得sin（2A-$\frac{π}{6}$）=1，结合A的范围即可求得A，C的值．
（2）由三角形的内角和定理及B的度数，表示出A+C的度数，用A表示出C，代入原式中利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域即可确定出范围．

解答 解：由2cos2B-8cosB+5=0，可得4cos²B-8cosB+3=0，即（2cosB-1）（2cosB-3）=0．
解得cosB=$\frac{1}{2}$或cosB=$\frac{3}{2}$（舍去）．
∵0＜B＜π，
∴B=$\frac{π}{3}$．
（1）∵a，b，c成等比数列，
∴b²=ac，
∴由正弦定理可得：sin²B=sinAsinC，即$\frac{3}{4}$=sinAsin（$\frac{2π}{3}$-A）=$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{1}{2}×sin2A$+$\frac{1}{2}×\frac{1-cos2A}{2}$，
∴整理可得：sin（2A-$\frac{π}{6}$）=1，
∵A∈（0，π），2A-$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{11π}{6}$），
可得：2A-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，解得：A=$\frac{π}{3}$，从而C=π-A-B=$\frac{π}{3}$．
（2）∵A+B+C=π，B=$\frac{π}{3}$，
∴A+C=$\frac{2π}{3}$，即C=$\frac{2π}{3}$-A，
则sinA+sinC=sinA+sin（$\frac{2π}{3}$-A）
=sinA+sin$\frac{2π}{3}$cosA-cos$\frac{2π}{3}$sinA
=sinA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA+$\frac{1}{2}$sinA
=$\frac{3}{2}$sinA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA
=$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{6}$），
∵A为三角形的内角，且B=$\frac{π}{3}$，
∴0＜A＜$\frac{2π}{3}$，即$\frac{π}{6}$＜A+$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，
∴sinA+sinC的取值范围是（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查了二倍角公式，简单的三角方程解法，余弦定理及其推论的用法，考查了两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键，属于中档题．