Question

【题目】已知函数.

(1)将函数写成分段函数的形式，并作出此函数的图象；

(2)判断函数在上的单调性，并加以证明；

(3)若关于的方程在区间上有两个不相等的实根，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）f（x）图像见解析；（2）见解析；（3）a＝﹣2或a＜﹣5．

【解析】

（1）讨论0≤x≤1，1＜x≤2去绝对值，可得f（x）的分段函数；由分段函数的图象画法，即可画出图象；

（2）求得g（x）的解析式，运用单调性的定义证明，注意取值、作差和变形、定符号，以及下结论；

（3）可令t＝f（x），0≤t≤1，可得3t2+at+2＝0，t＝0显然不成立；即有﹣a＝3t在（0，1]上有且只有一解，讨论y＝3t的单调性，即可得到所求范围．

（1）f（x）＝1﹣|x﹣1|，x∈[0，2]．

可得f（x），

f（x）的图象如右图：

（2）证明：g（x）＝x，

设0＜x1＜x2≤1，g（x1）﹣g（x2）＝x1x2

＝（x1﹣x2）（1），

由0＜x1＜x2≤1可得x1﹣x2＜0，10，

即有g（x1）﹣g（x2）＜0，即g（x1）＜g（x2），

可得g（x）在（0，1]递增；

（3）可令t＝f（x），0≤t≤1，可得3t2+at+2＝0，t＝0显然不成立；

即有﹣a＝3t在（0，1]上有且只有一解，

由y＝3t在（0，）递减，（，1）递增，

可得﹣a＞5，或﹣a＝2，

即有a的范围是a＝﹣2或a＜﹣5．