已知数组(a1,a2,a3,a4,a5)是1,2,3,4,5五个数的一个排列,如数组(1,4,3,5,2)是符合题意的一个排列.规定每一个排列只对应一个数组,且在每个数组中有且仅有一个使ai=i(i=1,2,3,4,5),则所有不同的数组中的各数字之和为 .
【答案】分析:根据题意,分析可得满足ai=i,即该数字的大小与位置相同的情况有5种,再举例a1=1,由分步计数原理计算可得a1=1时,满足题意的数组的个数,由满足ai=i的情况数目,计算可得满足题意的数组的个数,又由每个数组里,各数字之和为1+2+3+4+5=15,将其相乘,即可得答案.
解答:解:根据题意,每一个排列只对应一个数组,且在每个数组中有且仅有一个使ai=i,
则ai=i,即该数字的大小与位置相同的情况有5种,剩余的4个数字的大小与位置均不相同,
假设a1=1,即1在第一个位置,则2、3、4、5四个数字分别放在第2、3、4、5的位置,
数字2有3种放法,若放在位置3,则数字3有3种放法,数字4、5只有1种放法,
即a1=1时,有3×3=9个满足题意的数组,
则满足题意的数组共有5×9=45个,
每个数组里,各数字之和为1+2+3+4+5=15,
则所有不同的数组中的各数字之和为45×15=675;
故答案为675.
点评:本题考查排列、组合的应用,难点在于理解“每个数组中有且仅有一个使ai=i”的含义,分析得到满足题意的数组的个数.