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定义在(0,+∞)的函数,其中e=2.71828…是自然对数的底数,a∈R.
(1)若函数f(x)在点x=1处连续,求a的值;
(2)若函数f(x)为(0,1)上的单调函数,求实数a的取值范围,并判断此时函数f(x)在(0,+∞)上是否为单调函数;
(3)当x∈(0,1)时,记g(x)=lnf(x)+x2-ax,试证明:对n∈N*,当n≥2时,有
【答案】分析:(1)若函数f(x)在点x=1处连续,则说明当x=1时,分段函数两段函数的解析式均相等,即ea-1=1.解指数方程即可得到答案.
(2)函数f(x)为(0,1)上的单调函数,则f'(x)在区间(0,1)上恒小于0,或恒大于0,由此分类讨论后,构造关于a的不等式,解不等式即可得到答案.由此再判断f'(x)在区间(0,+∞)上的符号,即可判断函数f(x)在(0,+∞)上是否为单调函数;
(3)当x∈(0,1)时,g(x)=lnf(x)+x2-ax=lnx.则可将不等式.变形为-1-2-3-^-(n-1)<ln1+ln+ln+…+ln<1+++…+-n,分别构造函数h(t)=lnt-1+与s(t)=lnt-t+1,并判断两个函数在区间(0,1)上的单调性,可得到1-<lnt<t-1,其中t∈(0,1),代入即可证明结论.
解答:解:(1)∵f(1)=1,,已知f(x)在点x=1处连续,
∴有ea-1=1.
∴a=1.
(2)当x∈(0,1)时,f(x)=x
此时,f'(x)=+x(-2x-a)=(-2x2+ax+1)
>0,
∴f'(x)不可能在(0,1)上恒小于0.
故f(x)在(0,1)上必为增函数.
∴-2x2+ax+1 0在(0,1)上恒成立.
?a≥=2x-在(0,1)上恒成立.
设u(x)=2x-,x∈(0,1).
∵u(x)在(0,1)上是增函数,u(x)<1.
∴当a≥1时,f(x)在(0,1)上是增函数.
又当a=1时,f(x)在(0,+∞)上也是增函数;
当a>1时,∵==ea-1>1=f(1),
此时,f(x)在(0,+∞)上不是增函数.
(3)当x∈(0,1)时,g(x)=lnf(x)+x2-ax=lnx.
当n≥2时,
欲证
需证:-1-2-3-^-(n-1)<<1+++…+-n
即需证-1-2-3-^-(n-1)<ln1+ln+ln+…+ln<1+++…+-n
猜想:1-<lnt<t-1,其中t∈(0,1).
下面证明之.构造函数h(t)=lnt-1+,t∈(0,1).
∵h'(t)=-=<0,
∴h(t)在(0,1)上是减函数,而,
∴h(t)>h(1)=0,即有1-<lnt
设s(t)=lnt-t+1,t∈(0,1).
同理可证:s(t)<0,
即有1-<lnt<t-1,其中t∈(0,1).
分别取t=,…,(n≥2),所以有n个不等式相加即得:
-1-2-3-^-(n-1)<ln1+ln+ln+…+ln<1+++…+-n,

点评:利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便,但应注意f′(x)>0(或f′(x)<0)仅是f(x)在某个区间上为增函数(或减函数)的充分条件,在(a,b)内可导的函数f(x)在(a,b)上递增(或递减)的充要条件应是f′(x)≥0[或f′(x)≤0],x∈(a,b)恒成立,且f′(x)在(a,b)的任意子区间内都不恒等于0,这就是说,函数f(x)在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有f′(x0)=0,甚至可以在无穷多个点处f′(x0)=0,只要这样的点不能充满所给区间的任何一个子区间,因此,在已知函数f(x)是增函数(或减函数)求参数的取值范围时,应令f′(x)≥0[或f′(x)≤0]恒成立,解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立理论求解),然后检验参数的取值能否使f′(x)恒等于0,若能恒等于0,则参数的这个值应舍去,若f′(x)不恒为0,则由f′(x)≥0[或f′(x)≤0]恒成立解出的参数的取值范围确定.
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3
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