Question

已知奇函数f（x）满足f（x）=-f（x+2），当x∈[0，1]时，f（x）=x，若af²（x）+bf（x）+c=0在x∈[0，6]上恰有5个根，且记为x_i（i=1，2，3，4，5），则x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=

 

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Answer 1

分析：奇函数f（x）满足f（x）=-f（x+2），可得f（x+2）=-f（x）=f（-x），因此函数f（x）关于直线x=1对称．f（x+4）=-f（x+2）=f（x），可得函数f（x）的周期为4．可得函数f（x）关于直线x=3也对称．由于af²（x）+bf（x）+c=0在x∈[0，6]上恰有5个根，且记为x_i（i=1，2，3，4，5），不妨设x₁＜x₂＜x₃＜x₄＜x₅．则x₁+x₅=x₂+x₄=2x₃=6．即可得出．

解答：解：∵奇函数f（x）满足f（x）=-f（x+2），
∴f（x+2）=-f（x）=f（-x），∴函数f（x）关于直线x=1对称．
又f（x+4）=-f（x+2）=f（x），∴函数f（x）的周期为4．可得函数f（x）关于直线x=3也对称．
∵af²（x）+bf（x）+c=0在x∈[0，6]上恰有5个根，且记为x_i（i=1，2，3，4，5），不妨设x₁＜x₂＜x₃＜x₄＜x₅．则x₁+x₅=x₂+x₄=2x₃=6．
则x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=15．
故答案为：15．

点评：本题综合考查了函数的奇偶性、周期性、一元二次方程的解的情况，考查了数形结合的思想方法，属于难题．