Question

【题目】已知四棱锥P－ABCD的体积为 ，其三视图如图所示，其中正视图为等腰 三角形，侧视图为直角三角形，俯视图是直角梯形．

（1）求正视图的面积；
（2）求四棱锥P－ABCD的侧面积．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图所示四棱锥P－ABCD的高为PA，底面积为S＝ ·CD＝ ×1＝

∴四棱锥P－ABCD的体积V四棱锥P－ABCD＝ S·PA＝ × ·PA＝ ，∴PA=

∴正视图的面积为S＝ ×2× ＝ .

（2）解：如图所示，过A作AE∥CD交BC于E，连接PE.根据三视图可知，E是BC的中点，

且BE＝CE＝1，AE＝CD＝1，且BC⊥AE，AB=

又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，PA⊥DC，PD= ，∴BC⊥面PAE，∴BC⊥PE，

又DC⊥AD，∴DC⊥面PAD，∴DC⊥PD，且PA⊥平面ABCD.∴PA⊥AE，

∴PE2＝PA2+AE2＝3.∴PE＝ .

∴四棱锥P－ABCD的侧面积为

S＝S△PAB+ S△PAD+ S△PCD+ S△PBC＝ · · + · ·1+ ·1· + ·2· = .

【解析】（I）由三视图还原直观图，关键是放在长方体中，根据三视图得到直观图，及长度大小，可得；
（II）根据棱锥的体积公式V=可得。
【考点精析】解答此题的关键在于理解由三视图求面积、体积的相关知识，掌握求体积的关键是求出底面积和高；求全面积的关键是求出各个侧面的面积，以及对由三视图还原实物图的理解，了解正视图：从前往后;侧视图：从左往右;俯视图：从上往下．