Question

已知数列{C_n}，其中Cn=2n+3n，且数列{C_n+1-PC_n}为等比数列，则常数P=

 

．

Answer 1

分析：由Cn=2n+3n求出数列{C_n+1-PC_n}的通项公式，利用{C_n+1-PC_n}为等比数列得到

C3-PC2

C2-PC1

=

C4-PC3

C3-PC2

，代值整理后即可求得P的值．

解答：解：由Cn=2n+3n，得：Cn+1=2n+1+3n+1，
∴C_n+1-PC_n=2ⁿ⁺¹+3ⁿ⁺¹-P•2ⁿ-P•3ⁿ
=（2-P）•2ⁿ+（3-P）•3ⁿ．
∵数列{C_n+1-PC_n}为等比数列，
∴

C3-PC2

C2-PC1

=

C4-PC3

C3-PC2

，即

(2-P)•22+(3-P)•32

(2-P)•2+(3-P)•3

=

(2-P)•23+(3-P)•33

(2-P)•22+(3-P)•32

．
整理得：P²-5P+6=0，解得：P=2或P=3．
故答案为：2或3．

点评：本题考查了等比数列的通项公式，考查了计算能力，是基础题．