Question

若定义在区间D上的函数对于区间D上的任意两个值、总有以下不等式成立，则称函数为区间D上的凸函数 .

（1）证明：定义在R上的二次函数是凸函数；

（2）设，并且时，恒成立，求实数的取值范围，并判断函数能否成为上的凸函数；

（3）定义在整数集Z上的函数满足：①对任意的，；②，. 试求的解析式；并判断所求的函数是不是R上的凸函数说明理由.

Answer 1

证明：（1）对任意x₁, x₂∈R, 当, 有=

                         =

∴当时，，即

当时，函数f(x)是凸函数.

（2） 当x=0时, 对于a∈R，有f(x)≤1恒成立；当x∈(0, 1]时, 要f(x)≤1恒成立

即， ∴ 恒成立，∵ x∈(0, 1], ∴ ≥1, 当=1时, 取到最小值为0，∴ a≤0, 又a≠0,∴ a的取值范围是.

由此可知，满足条件的实数a的取值恒为负数，由（1）可知函数f(x)是凸函数

（3）令则，∵ ，∴，

令，则，故；

若，则

；

若，则 ∴；∴时，.

综上所述，对任意的，都有；

∵所以，不是R上的凸函数.

对任意，有

，

所以，不是上的凸函数.