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下列命题是真命题的序号为:
③④⑤
③④⑤

①定义域为R的函数f(x),对?x∈R都有f(x-1)=f(1-x),则f(x-1)为偶函数
②定义在R上的函数y=f(x),若对?x∈R,都有f(x-5)+f(1-x)=2,则函数y=f(x)的图象关于(-4,2)中心对称
③函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数,则f(x+1949)是奇函数
④函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的图形一定是对称中心在图象上的中心对称图形.
⑤若函数f(x)=ax3+bx2+cx+d有两不同极值点x1,x2,若|x2-x1|>|f(x2)-f(x1)|,且f(x1)=x1,则关于x的方程3a•[f(x)]2+2b•f(x)+c=0的不同实根个数必有三个.
分析:①根据偶函数的定义进行判断.②利用中心对称的性质判断.③利用函数奇偶性的性质判断.④利用函数的对称性进行判断.⑤利用函数的导数和单调性之间的关系判断.
解答:解:①若f(x-1)为偶函数,则f(-x-1)=f(x-1),所以①错误.
②因为
x-5+1-x
2
=
1-5
2
=-2
为常数,
f(x-5)+f(1-x)
2
=
2
2
=1
为常数,所以y=f(x)的图象关于(-2,1)中心对称,所以②错误.
③若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数,则f(-x+1)=-f(x+1),f(-x-1)=-f(x-1),即f(-x-3)=-f(x+1),
所以f(-x+1)=f(-x-3),即f(x+1)=f(x-3),所以f(x+4)=f(x),所以函数的周期是4,
所以f(x+1949)=f(x+1)为奇函数,所以③正确.
④根据三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d性质可知三次函数是中心对称图形,其对称中心为(-
b
3a
,f(-
b
3b
))

所以④正确.
⑤导数f′(x)=3ax2+2bx+c,由题意知x1,x2是方程3x2+2ax+b=0的两根,即x1,x2是函数的两个极值点,不妨设x2>x1,从而关于f(x)的方程3a[f(x)]2+2b[f(x)]+c=0有两个根,
f(x1)=x1,x2>x1=f(x1),如下示意图象:如图有三个交点,故有3个不同实根.所以⑤正确.
故答案为:③④⑤
点评:本题主要考查了函数奇偶性的应用,以及函数对称性的应用,综合性较强,难度较大.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

a
b
?存在唯一的实数λ,使
b
a

a
b
?存在不全为零的实数λ,μ,使λ
a
b
=
0

a
b
不共线?若存在实数λ,μ使λ
a
b
=
0
,则λ=μ=0;
a
b
不共线?不存在实数λ,μ使λ
a
b
=
0
.下列命题是真命题的是
 
(填序号)

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科目:高中数学 来源: 题型:

有下列命题:
①双曲线
x2
25
-
y2
9
=1
与椭圆
x2
35
+y2=1
有相同的焦点;
②“-
1
2
<x<0
”是“2x2-5x-3<0”必要不充分条件;
③“若xy=0,则x、y中至少有一个为0”的否命题是真命题.;
④若p是q的充分条件,r是q的必要条件,r是s的充要条件,则s是p的必要条件;
其中是真命题的有:
 
.(把你认为正确命题的序号都填上)

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科目:高中数学 来源: 题型:

下列说法:
①命题“?x∈R,使2x≤3”的否定是“?x∈R,使2x>3”;
②函数f(x)=(m2-m-1)xm是幂函数,且在x∈(0,+∞)上为增函数,则m=2;
③命题“函数f(x)在x=x0处有极值,则f(x0)=0”的否命题是真命题;
④函数y=tan(2x+
π
6
)
在区间(-
π
3
π
12
)
上单调递增;
⑤“log2x>log3x”是“2x>3x”成立的充要条件.
其中说法正确的序号是
①②④
①②④

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•日照一模)给出下列四个命题:
①若x>0,且x≠1则lgx+
1
lgx
≥2

②设x,y∈R,命题“若xy=0,则x2+y2=0”的否命题是真命题;
③若函数y=f(x)的图象在点M(1,f(1))处的切线方程是y=
1
2
x+2
,则f(1)+f'(1)=3;
④已知抛物线y2=4px(p>0)的焦点F与双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
的一个焦点重合,点A是两曲线的交点,AF⊥x轴,则双曲线的离心率为
2
+1

其中所有真命题的序号是
②③④
②③④

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•青岛一模)下列说法中正确的是
(把所有正确说法的序号都填上).
①“若am2<bm2,则a<b”的逆命题为真;
②线性回归方程
y
=
b
x+
a
对应的直线一定经过其样本数据点(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)中的一个点;
③命题“?x∈R,x2+x+1<0”的否定是“?x∈R,x2+x+1≥0”;
④命题“函数f(x)在x=x0处有极值,则f′(x)=0”的否命题是真命题.

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