Question

已知数列a_n的各项都为正数，a₁=1，前n项和S_n满足（n≥2）．
（Ⅰ）求数列a_n的通项公式；
（Ⅱ）令（n∈N^*），数列b_n的前n项和为T_n，若a_n+1≥λT_n对任意正整数n都成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵，
∴，
又∵a_n＞0，∴，∴（n≥2），
∴数列是等差数列，首项为，公差为1，
∴，∴S_n=n²
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1；
又a₁=1，∴数列a_n的通项公式为a_n=2n-1．
（Ⅱ），
∴．
由a_n+1≥λT_n得对任意正整数n都成立，
∴（2n+1）²≥λn，
∴．
令，则，
∴f（x）在[1，+∞）上递增，
∴对任意正整数n，的最小值为5，∴λ≤9．
分析：（I）有数列a_n的前n项和S_n满足（n≥2）?，先求出S_n，在求出数列a_n的通项公式；
（II）有（I）得到a_n又有（n∈N^*），得到数列b_n的通项公式，再利用求和方法的其前n项和然后解不等式．
点评：此题考查了已知数列a_n的前n项和S_n，求数列的通项还考查了裂项相消求数列的和及不等式恒成立．