Question

已知函数f（x）=x³+ax²-（2a+3）x+a²（a∈R）
（1）若曲线y=f（x）在x=-1处的切线与直线2x-y-1=0平行，求a的值
（2）若函数f（x）在区间（1，+∞）上不单调，求实数a的取值范围；
（3）求所有的实数a，使得f（x）＞0对x∈[-1，1]恒成立．

Answer 1

分析：（1）利用导数的几何意义求a．（2）利用导数与函数单调性之间的关系进行求范围．（3）利用导数求函数在[-1，1]上的最小值即可．

解答：解：（1）由题意得f'（x）=3x²+2ax-（2a+3），所以f'（-1）=3-2a-（2a+3）=2，解得a=-

1

2

.4分
（2）函数的导数f'（x）=3x²+2ax-（2a+3）=（x-1）（3x+2a+3），
由f'（x）=0，得x=1或x=-

2a+3

3

，因为f（x）在区间（1，+∞）上不单调，
所以-

2a+3

3

＞1，故a＜-3．
（3）因为f（x）＞0对x∈[-1，1]恒成立．所以当x∈[-1，1]时，f（x）_min＞0，
①当-

2a+3

3

≥1即时，a≤-3时，函数f（x）在x∈[-1，1]上单调递增，
所以fmin?(x)=f(-1)=a2+3a+2＞0，解得a＞-1或a＜-2．
故a≤-3             11分
②当-1＜-

2a+3

3

＜1，即-3＜a＜0时，
函数f（x）在[-1，-

2a+3

3

]上为增函数，在[-

2a+3

3

，1]上为减函数
所以f_min（x）=min{f（-1），f（1）}，
故

f(-1)=a2+3a+2＞0 f(1)=a2-a-2＞0

，所以a＞2或a＜-2，
所以-3＜a＜-2         13分
③当-

2a+3

3

≤-1即a≥0，函数f（x）在x∈[-1，1]上为减函数，
所以fmin?(x)=f(1)=a2-a-2＞0
所以a＞2或a＜-1，
故a＞2
综上所述，实数a得取值范围为a＞2或a＜-2．              15分

点评：本题主要考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调性以及最值问题，考查学生的运算能力，综合性较强．