Question

将一枚均匀的硬币连续抛掷n次，以P_n表示未出现连续3次正面的概率。
（1）求P₁、P₂、P₃和P₄；
（2）探究数列{P_n}的递推公式，并给出证明；
（3）讨论数列{P_n}的单调性及其极限，并阐述该极限的概率意义。

Answer 1

解：（1）显然P₁=P₂=1，
又投掷四次连续出现三次正面向上的情况只有：正正正正或正正正反或反正正正，故
。
（2）共分三种情况：①如果第n次出现反面，那么前n次不出现连续三次正面和前n-1次不出现连续三次正面是相同的，所以这个时候不出现连续三次正面的概率是；
②如果第n次出现正面，第n-1次出现反面，那么前n次不出现连续三次正面和前n-2次不出现连续三次正面是相同的，所以这个时候不出现连续三次正面的概率是；
③如果第n次出现正面，第n-1次出现正面，第n-2次出现反面。那么前n次不出现连续三次正面和前n-3次不出现连续三次正面是相同的，所以这时候不出现三次连续正面的概率是
综上，
P₁=P₂=1，  ①
从而 ②
，有。
（3）由（2）知，n≥4时，{P_n}单调递减，又P₁=P₂>P₃>P₄，
∴n≥2时，数列{P_n}单调递减，且有下界0
∴P_n的极限存在记为a
对两边同时取极限可得
a=0，故。
其统计意义：当投掷的次数足够多时，不出现连续三次正面向上的概率非常小。