Question

某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式y=

a

x-3

+10（x-6）²，其中3＜x＜6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若该商品的成品为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（5）=11代入函数的解析式，解关于a的方程，可得a值；
（Ⅱ）商场每日销售该商品所获得的利润=每日的销售量×销售该商品的单利润，可得日销售量的利润函数为关于x的三次多项式函数，再用求导数的方法讨论函数的单调性，得出函数的极大值点，从而得出最大值对应的x值．

解答：解：（Ⅰ）因为x=5时，y=11，所以

a

2

+10=11，故a=2
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，该商品每日的销售量y=

2

x-3

+10(x-6)2
所以商场每日销售该商品所获得的利润为
f(x)=(x-3)[

2

x-3

+10(x-6)2]=2+10(x-3)(x-6)2
从而，f′（x）=10[（x-6）²+2（x-3）（x-6）]=30（x-6）（x-4）
于是，当x变化时，f（x）、f′（x）的变化情况如下表：

x	（3，4）	4	（4，6）
f'（x）	+	0	-
f（x）	单调递增	极大值42	单调递减

由上表可得，x=4是函数f（x）在区间（3，6）内的极大值点，也是最大值点．
所以，当x=4时，函数f（x）取得最大值，且最大值等于42
答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．

点评：本题函数解析式的建立比较容易，考查的重点是利用导数解决生活中的优化问题，属于中档题．