Question

某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工的合格零件数，按十位数学为茎，个位数学为叶得到的茎叶图如图所示，已知甲、乙两组数据的平均数都为10．
（Ⅰ）求m，n的值；
（Ⅱ）别求出甲、乙两组数据的方差S_甲²和S_乙²，并由此分析两组技工的加工水平；
（Ⅲ）质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工，对其加工的零件进行检测，若两人加工的合格零件数之和大于17，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格”的概率．
（注：

.

x

为数据x₁，x₂，…x_n的平均数，方差S²=

1

n

[（x₁-

.

x

）²+（x₂-

.

x

）²+…+（x_n-

.

x

）²]）

Answer 1

考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率,茎叶图,极差、方差与标准差

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）由题意根据平均数的计算公式分别求出m，n的值．
（Ⅱ）分别求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件数的方差S_甲²和S_乙²，再根据它们的平均值相等，可得方差较小的发挥更稳定一些．
（Ⅲ）用列举法求得所有的基本事件的个数，找出其中满足该车间“待整改”的基本事件的个数，即可求得该车间“待整改”的概率．

解答： 解：（I）由题意可得

.

x甲

=

1

5

（7+8+10+12+10+m）=10，解得 m=3．
再由

.

x乙

=

1

5

（n+9+10+11+12）=10，解得 n=8．
（Ⅱ）分别求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件数的方差，
S_甲²=

1

5

[（7-10）²+（8-10）²+（10-10）²+（12-10）²+（13-10）²]=5.2，
S_乙²=

1

5

[（8-10）²+（9-10）²+（10-10）²+（11-10）²+（12-10）²]=2，
并由

.

x甲

=

.

x乙

，S_甲²＜S_乙²，可得两组的整体水平相当，乙组的发挥更稳定一些．
（Ⅲ）质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工，对其加工的零件进行检测，
设两人加工的合格零件数分别为（a，b），
则所有的（a，b）有 （7，8）、（7，9）、（7，10）、（7，11）、（7，12）、（8，8）、（8，9）、（8，10）、（8，11）、（8，12）、（10，8）、（10，9）、（10，10）、（10，11）、（10，12）、（12，8）、（12，9）、（12，10）、（12，11）、（12，12）、（13，8）、（13，9）、（13，10）、（13，11）、（13，12），共计25个，
而满足a+b≤17的基本事件有（7，8）、（7，9）、（7，10）、（8，8）、（8，9），共计5个基本事件，
故满足a+b＞17的基本事件个数为25-5=20，即该车间“待整改”的基本事件有20个，
故该车间“待整改”的概率为P=

20

25

=

4

5

．

点评：本题主要考查方差的定义和求法，古典概型问题，可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件，列举法，是解决古典概型问题的一种重要的解题方法，属于中档题．