Question

已知二次函数y=ax²+2bx+c，其中a＞b＞c且a+b+c=0．
（1）求证：此函数的图象与x轴交于相异的两个点．
（2）设函数图象截x轴所得线段的长为l，求证：＜l＜2．

Answer 1

证明：（1）由a+b+c=0得b=-（a+c）．
△=（2b）²-4ac=4（a+c）²-4ac
=4（a²+ac+c²）=4[（a+）²+c²]＞0．
故此函数图象与x轴交于相异的两点．
（2）∵a+b+c=0且a＞b＞c，
∴a＞0，c＜0．
由a＞b得a＞-（a+c），
∴＞-2．
由b＞c得-（a+c）＞c，
∴＜-．
∴-2＜＜-．
l=|x₁-x₂|=．
由二次函数的性质知l∈（，2）．
分析：（1）欲证明二次函数与x轴有两个交点，只须函数相应方程的判别式大于0即可，本题中函数解析式未知，故应合理利用条件
a＞b＞c且a+b+c=0，对其变形后代入判别式进行变换即可判断判别式的符号，证明本题．
（2）利用求根公式求出函数相应方程的两个根，得到线段长l的表达式，变形得l=|x₁-x₂|=，由次形式推断出线段长度范围的关键是确定的范围，由此问题研究的方向找到，以下依据a＞b＞c且a+b+c=0恒等变形求的范围即可．
点评：本题的考点是二次函数的性质，考查综合利用二次函数相关知识证明问题的能力，本题在解题中技巧性很强，如（1）中消去参数b利于确定判别式的范围，（2）中灵活运用a＞b＞c且a+b+c=0来确定的范围，此类技巧的运用需要平时经验的积累，以及数学素养的提高，题后应对这些变形的技巧的变形过程及变形后达到目标进行细致的分析，力争能把握此类技巧的使用．