Question

已知平面上的动点P（x，y）及两定点A（-2，0），B（2，0），直线PA，PB的斜率分别是k₁，k₂，且k₁•k₂=-

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4

．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）已知直线l：y=kx+m与曲线C交于M，N两点，且直线BM、BN的斜率都存在，并满足k_BM•k_BN=-

1

4

，求证：直线l过原点．

Answer 1

分析：（1）根据直线PA，PB的斜率分别是k₁，k₂，且k₁•k₂=-

1

4

，建立方程，化简即可得到动点P的轨迹C的方程；
（2）直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理及k_BM•k_BN=-

1

4

，求出m的值，即可得到结论．

解答：（1）解：由题意得

y

x+2

•

y

x-2

=-

1

4

（x≠±2），即x²+4y²-4=0．
所以点P的轨迹C的方程为

x2

4

+y²=1（x≠±2）．
（2）证明：设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
联立方程

y=kx+m x2 4 +y2=1

，得（4k²+1）x²+8kmx+4m²-4=0．
所以x₁+x₂=

-8km

4k2+1

，x₁x₂=

4m2-4

4k2+1

．
所以y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=

m2-4k2

4k2+1

．
又k_BM•k_BN=-

1

4

，即

y1

x1-2

•

y2

x2-2

=-

1

4

，
即x₁x₂-2（x₁+x₂）+4+4y₁y₂=0．
代入并整理得m（m+2k）=0，即m=0或m=-2k，
当m=0时，直线l恒过原点；
当m=-2k时，直线l恒过点（2，0），但不符合题意．
所以直线l恒过原点．

点评：本题考查轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，正确运用韦达定理是关键．