Question

【题目】已知椭圆 ，离心率 ，它的长轴长等于圆x2+y2﹣2x+4y﹣3=0的直径．
（1）求椭圆 C的方程；
（2）若过点 的直线l交椭圆C于A，B两点，是否存在定点Q，使得以AB为直径的圆经过这个定点，若存在，求出定点Q的坐标；若不存在，请说明理由？

Answer 1

【答案】
（1）

解：圆方程x2+y2﹣2x+4y﹣3=0化为（x﹣1）2+（y+2）2=8，则圆的直径为 ，∴ ，

由 得：c=2，b2=a2﹣c2=8﹣4=4，

以椭圆C的方程：

（2）

解：过点 作斜率为0和斜率不存在的直线l交椭圆C的两个交点为直径的圆分别为 和x2+y2=4，这两个圆的交点为（0，2）．

所以猜想存在点Q（0，2），使得以 AB为直径的圆经过这个定点．

设直线 AB的方程为 ，与椭圆 ，

联立方程组得： ，

设交点A（x1，y1），B（x2，y2）得， ，

则

= ，

所以 ，

即以 AB为直径的圆经过这个定点Q（0，2）

【解析】（1）求出圆的直径为 ，推出a，由离心率求解c，然后求解椭圆C的方程．（2）猜想存在点Q（0，2），使得以 AB为直径的圆经过这个定点．设直线 AB的方程为 ，与椭圆 ，联立方程组得： ，设交点A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），利用韦达定理，向量的数量积转化求解即可．