Question

（1）已知幂函数y=x^m-2（x∈N）的图象与x，y轴都无交点，且关于y轴对称，求函数解析式．
（2）已知函数y=．求函数的单调区间和奇偶性．

Answer 1

【答案】分析：（1）有幂函数的性质判断出幂函数的指数小于或等于0；指数为偶数．列出不等式求出m；
（2）根据函数奇偶性的定义，求出f（-x）的表达式并判断f（-x）与f（x）的关系，即可判断f（x）的奇偶性；函数为复合函数，据符号函数的单调性同增异减，外函数是减函数，求出内函数的递增区间为函数的递减区间；内函数的递减区间为函数的递增区间．
解答：解：（1）∵幂函数y=x^m-2（m∈N）的图象与x轴，y轴都无交点，
∴m-2≤0，解得m≤2，又m∈N
∴m=0或m=1或m=2，又关于y轴对称，
∴m=0或m=2，
∴f（x）=x^-2或f（x）=x=1（x≠0）；
（2）由15-2x-x²≥0得函数的定义域为[-5，3]，函数的定义域关于原点不对称，
∴函数既不是奇函数也不是偶函数．又对称轴为x=1，
∴x∈[-5，1]时，t随x的增大而增大；x∈（1，3）时，t随x的增大而减小．
又∵函数y=在t∈[0，16]时，y随t的增大而增大，
∴函数y=的单调增区间为[-5，1]，单调减区间为（1，3）．
点评：本题考查幂函数的性质与幂指数的取值范围有关、考查二次函数的图象和性质，熟练掌握函数图象与性质的关系及判断方法是解答本题的关键．