Question

从1，2，3，…，20这20个自然数中，每次任取3个数，若其和是大于10的偶数，则这样的数组有

563

个．

Answer 1

分析：根据题意，设A={1，3，5，…，17，19}，B={2，4，6，…，18，20}，分①从集合B中取出3个，②从集合A中取2个，集合B中取1个，2种情况讨论，计算可得取出3个数之和为偶数的情况，进而由列举法可得取出3个数之和小于等于10的情况，由间接法计算可得答案．

解答：解：根据题意，将1，2，3，…，20这20个自然数分为2组，一组为奇数，一组为偶数；
设A={1，3，5，…，17，19}，B={2，4，6，…，18，20}，
若取出的三个数之和为偶数，则必是3个偶数或2奇1偶，
有2种情况，①从集合B中取出3个，有C₁₀³种情况，
②从集合A中取2个，集合B中取1个，有C₁₀¹×C₁₀²种情况，
共有C₁₀³+C₁₀¹×C₁₀²=570种情况，
其中之和小于等于10的情况有：（1、3、2），（1、3、4），（1、3、6），（1、5、2），（1、5、4），（1、7、2），
（3、5、2），共7种；
故其和是大于10的偶数的情况有570-7=563种，即有563个这样的数组；
故答案为563．

点评：本题考查排列、组合的应用，解题的关键是根据整数加法的性质，将20个自然数分为2组，进而分类讨论，求出取出3数之和为偶数的情况数目．