Question

已知f（x）是R上的可导函数．
（1）f（-x）在x=a处的导数值与f（x）在x=-a处的导数值有什么关系？
（2）若f（x）为偶函数，f′（x）的奇偶性如何？

Answer 1

分析：（1）用复合函数的求导法则求f（-x）的导数，再求在x=a处的导数值．
（2）函数在某点处导数的定义求f′（-x），由奇函数、偶函数定义得解．

解答：解：（1）∵f（-x）的导数为-f′（-x）
∴f（-x）在x=a处的导数值为-f′（-a）
又f（x）在x=-a处的导数值为f′（-a）
故f（-x）在x=a处的导数值与f（x）在x=-a处的导数值互为相反数．
（2）因为f（x）为偶函数，
所以f′（-x）=

lim

△x→0

f(-x+△x)-f(-x)

△x

=-

lim

-△x→0

f(x-△x)-f(x)

-△x

=-f′（x）．
所以f′（x）为奇函数

点评：考查函数f（-x）在x=a处的导数值不是f′（-a），函数在某点处导数值的定义．