Question

【题目】如图，在三棱柱中，平面，为的中点，交于点，，.

（1）证明：平面；

（2）若，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】

利用三棱柱的定义及线面垂直的性质，根据线面垂直的判定定理即可证明；

由（1）结论建立空间直角坐标系，先求出平面和平面的法向量，利用向量数量积公式即可求出二面角的余弦值.

证明：（1）因为为三棱柱，所以平面平面，

因为平面，所以平面.又因为平面，所以.

又因为，，平面，所以平面.

由题知：四边形为矩形，又因交于点，所以为的中点，

又因为为的中点，所以为的中位线，所以.所以平面.

（2）由（1）知：两两互相垂直，所以以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，如图所示：

设，则，

所以，，因为，所以，

所以，解得.所以，

所以，.

设平面的法向量为，则，所以，

不妨令，则.

设平面的法向量为，则，所以，

不妨令，则.所以,

因为平面与平面所成的角为锐角，所以二面角的余弦值为.