Question

12．如图，A，B，C为圆O上三点，点B平分弧$\widehat{AC}$，点P为AC延长线上一点，PQ是圆O的切线，切点为Q，BQ与AC相交于点D．
（1）求证：PD=PQ；
（2）若PC=1，AD=PD，求BD•QD．

Answer 1

分析 （1）连接CQ，BC，AB，证明∠PQD=∠CDQ，即可证明PD=PQ；
（2）利用切割线定理，求出CD=1，AD=PD=2，即可求BD•QD．

解答 证明：（1）连接CQ，BC，AB，
因为PQ是圆O的切线，所以∠PQC=∠CBD，
因为点B平分弧$\widehat{AC}$，所以∠CQB=∠ACB，…（3分）
所以∠PQC+∠CQB=∠CBD+∠ACB，
即∠PQD=∠CDQ，故PD=PQ…（5分）
（2）设CD=t，则PD=PQ=1+t，PA=2+2t，…（7分）
由PQ²=PC•PA得t=1，所以CD=1，AD=PD=2，
所以BD•QD=CD•AD=2…（10分）

点评 本题考查与圆有关的比例线段，考查相等线段的证明，考查切割线定理，难度中等．