Question

【题目】如图，四棱锥P－ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°.

(1)证明：直线BC∥平面PAD；

(2)若△PCD的面积为2，求四棱锥P－ABCD的体积.

Answer 1

【答案】(1) 见解析(2)

【解析】试题分析：（1）第（1）问，转化成线线垂直，转化成证明BC∥AD. (2)第（2）问，先转化△PCD的面积为2得到BC的长度，再利用体积公式求解.

试题解析：(1)证明：在底面ABCD中，因为∠BAD＝∠ABC＝90°，所以BC∥AD，

又BC平面PAD，AD平面PAD，∴直线BC∥平面PAD.

(2)解：取AD的中点M，连接PM，CM，由AB＝BC＝AD及BC∥AD，∠ABC＝90°得四边形ABCM为正方形，则CM⊥AD.

因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PM⊥AD，PM⊥底面ABCD.

因为CM底面ABCD，所以PM⊥CM.

设BC＝x，则CM＝x，CD＝x，PM＝x，PC＝PD＝2x.

取CD的中点N，连接PN.

则PN⊥CD，所以PN＝x.

因为△PCD的面积为2，所以，

解得x＝－2(舍去)或x＝2.

于是AB＝BC＝2，AD＝4，PM＝2.

所以四棱锥P－ABCD的体积V＝.