Question

4．若偶函数y=f（x）（x∈R）满足f（1+x）=f（1-x），且当x∈[-1，0]时，f（x）=x²，则函数g（x）=f（x）-|lgx|的零点个数为10个．

Answer 1

分析 运用函数的对称性和奇偶性，确定函数y=f（x）的周期，构造函数y=f（x），h（x）=|lgx|，则函数g（x）=f（x）-|lgx|的零点问题转化为图象的交点问题，结合图象，即可得到结论．

解答 解：∵偶函数y=f（x）（x∈R）满足f（1+x）=f（1-x），
即函数f（x）关于x=1对称，即有f（x+2）=f（-x）=f（x），
则函数y=f（x）的周期为2，
构造函数y=f（x），h（x）=|lgx|，画出它们的图象，
则函数g（x）=f（x）-|lgx|的零点问题转化为图象的交点问题，由于f（x）的最大值为1，
所以x＞10时，图象没有交点，在（0，1）上有一个交点，
（1，3），（3，5），（5，7），（7，9）上各有两个交点，在（9，10）上有一个交点，故共有10个交点，
即函数零点的个数为10．
故答案为：10．

点评 本题的考点是函数零点与方程根的关系，主要考查函数零点的定义，关键是正确作出函数图象，注意掌握周期函数的一些常见结论：若f（x+a）=f（x），则周期为a；若f（x+a）=-f（x），则周期为2a等．