Question

如图，设计一个小型正四棱锥形冷水塔，其中顶点P在底面的射影为正方形ABCD的中心O，返水口E为BC的中点，冷水塔的四条钢梁（侧棱）设计长度均为10米．冷水塔的侧面选用钢板，基于安全与冷凝速度的考量，要求钢梁（侧棱）与底面的夹角α落在区间[

π

6

，

π

3

]内，如何设计可得侧面钢板用料最省且符合施工要求？

Answer 1

分析：根据题意，算出底面边长等于10

2

cosα，从而在Rt△P0E中算出PE=5

2

•

1+sin2α

，可得侧面积关于α的函数关系式：S_侧面=200

1-sin4α

，由sinα∈[

1

2

，

3

2

]即可算出当α=

π

3

时，侧面钢板用料最省．由此可得相应的底面边长和高，得到本题答案．

解答：解：依题意，可得
钢梁（侧棱）与底面的夹角为∠PBO=α．
∴OP=10sinα，-------------------------（2分）
则OE=

2

2

OB=5

2

cosα，
可得BC=10

2

cosα---------（4分）
在Rt△POE中，
PE=

OP2+OE2

=5

2

•

1+sin2α

，---（6分）
∴S侧面=4×(

1

2

PE•BC)=200cosα

1+sin2α

-------（8分）
=200

1-sin4α

----------------------------（10分）
又∵α∈[

π

6

，

π

3

]，可得

1

2

≤sinα≤

3

2

，----------（11分）
∴当且仅当sinα=

3

2

时，侧面积取得最小值，等于200

1-( 3 2 )4

=50

7

---------------（13分）
此时的cosα=

1

2

，AB=5

2

，OP=5

3

．
即冷水塔的底面边长应设计为AB=5

2

米，高OP=5

3

米时，侧面钢板用料最省--------（14分）

点评：本题给出实际应用问题，求侧面积的最小值．着重考查了正棱锥的性质、直线与平面所成角、解直角三角形和三角函数模型的应用等知识，属于中档题．