Question

12．已知x＞0，y＞0，若x+$\frac{1}{x}$+y+$\frac{9}{y}$=10，则x+y的最小值是2．

Answer 1

分析 x+$\frac{1}{x}$+y+$\frac{9}{y}$=10，x＞0，y＞0，可得x+y=10-$\frac{1}{x}$-$\frac{9}{y}$，（x+y）²=10（x+y）-（10+$\frac{y}{x}+\frac{9x}{y}$），变形为10+$\frac{y}{x}+\frac{9x}{y}$=-（x+y）²+10（x+y），再利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵x+$\frac{1}{x}$+y+$\frac{9}{y}$=10，x＞0，y＞0，∴x+y=10-$\frac{1}{x}$-$\frac{9}{y}$，
∴（x+y）²=10（x+y）-（10+$\frac{y}{x}+\frac{9x}{y}$）
∴10+$\frac{y}{x}+\frac{9x}{y}$=-（x+y）²+10（x+y）≥10+$2\sqrt{\frac{y}{x}•\frac{9x}{y}}$=16，当且仅当y=3x时取等号．
∴（x+y）²-10（x+y）+16≤0，
化为（x+y-2）（x+y-8）≤0，
解得2≤x+y≤8，
∴当x=$\frac{1}{2}$，y=$\frac{3}{2}$时，x+y取得最小值2．
故答案为：2．

点评 本题考查了基本不等式的性质、一元二次不等式的解法，考查了变形能力与计算能力，属于中档题．