【题目】已知函数
(1)若为单调增函数,求实数的值;
(2)若函数无最小值,求整数的最小值与最大值之和.
【答案】(1).(2)
【解析】
(1)求出,再令,求出两个根,函数为单调函数,所以有两个相同的根,得到,再进行检验即可;
(2)由得,或和,分别当、和三种情况进行讨论;时不成立,时成立,时,利用函数单调性,当无最小值时,,构造关于的函数,求出的范围,即可得到答案.
(1) 由题意,,
,解得,或,
因为函数为单调函数,所以有两个相同的根,即,
时,,为增函数,故适合题意;
(2)由(1)知,,解得,或,
①当时,则在上为减函数,
在上为增函数,
当时,有最小值,
故不适合题意;
②当时,则在上为增函数,
在上为增函数,
在上为增函数,无最小值,故适合题意;
③当时,则在上为增函数,
在上为减函数,
在上为增函数,
因为无最小值,
所以,
,
由在上恒成立,
在上单调递增,
且 存在唯一的实根
在上单调递减; 在上单调递增增,
且
存在唯一的实根,
由,
无最小值,则,,
综上,,,
,.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(θ为参数),以原点为极点,x轴非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为.
(1)求曲线C1的极坐标方程以及曲线C2的直角坐标方程;
(2)若直线l:y=kx与曲线C1、曲线C2在第一象限交于P、Q,且|OQ|=|PQ|,点M的直角坐标为(1,0),求△PMQ的面积.
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【题目】在平面直角坐标系中,定义为两点,的“切比雪夫距离”,又设点及上任意一点,称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”,记作,给出下列三个命题:
①对任意三点、、,都有;
②已知点和直线:,则;
③到定点的距离和到的“切比雪夫距离”相等的点的轨迹是正方形.
其中正确的命题有( )
A.0个B.1个C.2个D.3个
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【题目】金秋九月,丹桂飘香,某高校迎来了一大批优秀的学生.新生接待其实也是和社会沟通的一个平台.校团委、学生会从在校学生中随机抽取了160名学生,对是否愿意投入到新生接待工作进行了问卷调查,统计数据如下:
愿意 | 不愿意 | |
男生 | 60 | 20 |
女士 | 40 | 40 |
(1)根据上表说明,能否有99%把握认为愿意参加新生接待工作与性别有关;
(2)现从参与问卷调查且愿意参加新生接待工作的学生中,采用按性别分层抽样的方法,选取10人.若从这10人中随机选取3人到火车站迎接新生,设选取的3人中女生人数为,写出的分布列,并求.
附:,其中.
0.05 | 0.01 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
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【题目】已知抛物线的焦点,过其准线与轴的交点作直线,
(1)若直线与抛物线相切于点,则=_____________.
(2)设,若直线与抛物线交于点,且,则=_____________.
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【题目】为了调查各校学生体质健康达标情况,某机构M采用分层抽样的方法从校抽取了名学生进行体育测试,成绩按照以下区间分为七组:[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],并得到如下频率分布直方图.根据规定,测试成绩低于60分为体质不达标.已知本次测试中不达标学生共有20人.
(1)求的值;
(2)现从校全体同学中随机抽取2人,以频率作为概率,记表示成绩不低于90分的人数,求的分布列及数学期望;
(3)另一机构N也对该校学生做同样的体质达标测试,并用简单随机抽样方法抽取了100名学生,经测试有20名学生成绩低于60分.计算两家机构测试成绩的不达标率,你认为用哪一个值作为对该校学生体质不达标率的估计较为合理,说明理由.
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【题目】已知椭圆的一个焦点与短轴的两端点组成一个正三角形的三个顶点,且椭圆经过点.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线与椭圆交于,两点,且以线段为直径的圆过椭圆的右顶点,求面积的最大值.
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