Question

3．已知函数f（x）=$\frac{x}{e^x}$-axlnx（a∈R）在x=1处的切线方程为y=bx+1+$\frac{1}{e}$（b∈R）．
（1）求a，b的值；
（2）证明：f（x）＜$\frac{2}{e}$．
（3）若正实数m，n满足mn=1，证明：$\frac{1}{{e}^{m-1}}$+$\frac{1}{{e}^{n-1}}$＜2（m+n）．

Answer 1

分析 （1）求得f（x）的导数，可得斜率，解方程可得a，b；
（2）由题意可得即证$\frac{x}{e^x}$-$\frac{2}{e}$＜xlnx，令g（x）=$\frac{x}{e^x}$-$\frac{2}{e}$，求出导数，单调区间，可得最大值；又令h（x）=xlnx，求出最小值，即可得证；
（3）由（2）可得$\frac{m}{{e}^{m}}$-mlnm＜$\frac{2}{e}$，即$\frac{1}{{e}^{m}}$-lnm＜$\frac{2}{em}$，两边乘以e，可得一不等式，同理可得，$\frac{1}{{e}^{n-1}}$-elnn＜$\frac{2}{n}$，两式相加结合条件，即可得证．

解答 解：（1）函数f（x）=$\frac{x}{e^x}$-axlnx的导数为f′（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$-alnx-a，
由题意可得f′（1）=b=-a，f（1）=$\frac{1}{e}$=b+1+$\frac{1}{e}$，
解得a=1，b=-1；
（2）证明：f（x）=$\frac{x}{e^x}$-xlnx＜$\frac{2}{e}$，即为$\frac{x}{e^x}$-$\frac{2}{e}$＜xlnx，
令g（x）=$\frac{x}{e^x}$-$\frac{2}{e}$，g′（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$，
则g（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，
g（x）的最大值为g（1）=-$\frac{1}{e}$，当且仅当x=1时等号成立．
又令h（x）=xlnx，则h′（x）=1+lnx，
则h（x）在（0，$\frac{1}{e}$）递减，在（$\frac{1}{e}$，+∞）递增，
则h（x）的最小值为h（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{1}{e}$，当且仅当x=$\frac{1}{e}$等号成立，
因此$\frac{x}{e^x}$-$\frac{2}{e}$＜xlnx，即f（x）＜$\frac{2}{e}$；
（3）证明：由（2）可得$\frac{m}{{e}^{m}}$-mlnm＜$\frac{2}{e}$，即$\frac{1}{{e}^{m}}$-lnm＜$\frac{2}{em}$，
两边同乘以e，可得$\frac{1}{{e}^{m-1}}$-elnm＜$\frac{2}{m}$，
同理可得，$\frac{1}{{e}^{n-1}}$-elnn＜$\frac{2}{n}$，
两式相加，可得：$\frac{1}{e^m}+\frac{1}{e^n}$＜e（lnm+lnn）+2（m+n）=elnmn+$\frac{2（m+n）}{mn}$=2（m+n）．
故$\frac{1}{e^m}+\frac{1}{e^n}$＜2（m+n）．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间，极值和最值，考查不等式的证明，注意运用不等式的性质和构造函数法，考查运算能力，属于中档题．