Question

【题目】已知动圆过点，且在轴上截得的弦长为4．

（1）求动圆圆心的轨迹方程；

（2）过点的直线与曲线交于点，，与轴交于点，设，，求证：是定值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）详见解析.

【解析】

（1）设动圆心C（x，y），利用半径相等可得：，化简即可得出动圆圆心C的轨迹方程．

（2）设直线l的方程为：x＝ty+2．设A（x1，y1），B（x2，y2）．与抛物线方程联立化为：y2﹣4ty﹣8＝0．利用根与系数的关系、向量坐标运算性质即可得出．

（l）设动圆圆心坐标为，

由题意得：动圆半径，圆心到轴的距离为.

所以，

化简得：，

所以动圆圆心的轨迹方程为.

（2）设直线的方程为，

代入，得.

设，，

则，.

由，所以，.

因为，所以，

所以.

同理可得，，

所以.

即是定值.