Question

【题目】已知等比数列{an}的前n项和为Sn ， 公比q＞0，S2=2a2﹣2，S3=a4﹣2．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn= ，Tn为{bn}的前n项和，求T2n ．

Answer 1

【答案】解：（I）∵等比数列{an}的前n项和为Sn ， 公比q＞0，S2=2a2﹣2，S3=a4﹣2． ∴a3=a4﹣2a2 ， 可得a2q=a2（q2﹣2），
∴q2﹣q﹣2=0，解得q=2．∴a1+a2=2a2﹣2，即a1=a2﹣2=2a1﹣2，解得a1=2．
∴an=2n ．
（II）n为奇数时，bn= = = ．
n为偶数时，bn= ．
∴T2n= + +…+ + +…+
= + +…+
= + +…+ ．
设A= +…+ ，
则 A= +…+ + ，
∴ A= +…+ ﹣ = ﹣ ，
∴A= ﹣ ．
∴T2n= + ﹣ ．
【解析】（I）等比数列{an}的前n项和为Sn ， 公比q＞0，S2=2a2﹣2，S3=a4﹣2．可得a3=a4﹣2a2 ， a2q=a2（q2﹣2），解得q．进而得出a1 ， 可得an ． （II）n为奇数时，bn= = = ．n为偶数时，bn= ．分组求和，利用“裂项求和”方法可得奇数项之和；利用“错位相减法”与等比数列的求和公式可得偶数项之和．
【考点精析】解答此题的关键在于理解数列的前n项和的相关知识，掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系，以及对数列的通项公式的理解，了解如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．