Question

已知集合P=[

1

2

，2]，函数y=log2(ax2-2x+2)的定义域为Q．
（1）若方程log2(ax2-2x+2)=2在[

1

2

，2]内有解，求实数a的取值范围．
（2）若P∩Q≠∅，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）本小题是一个存在性的问题，故应求出解析式对应函数的值域，让该参数是该值域的一个元素即可保证存在性．
（2）本小题也是一个存在性的问题，此类题求参数一般转化为求最值．若是存在大于某式的值成立，一般令其大于其最小值．

解答：解：（1）若方程log2(ax2-2x+2)=2在[

1

2

，2]内有解，则ax²-2x-2=0在[

1

2

，2]内有解，
即a=

2

x2

+

2

x

在[

1

2

，2]内有解，
设μ=

2

x2

+

2

x

=2(

1

x

+

1

2

)2-

1

2

，
当x∈[

1

2

，2]时，μ∈[

3

2

，12]，
所以a∈[

3

2

，12]，
所以a的取值范围是

3

2

≤a≤12．
（2）若P∩Q≠Φ，则在[

1

2

，2]内至少存在一个x，使ax²-2x+2＞0成立，
即a＞-

2

x2

+

2

x

=-2(

1

x

-

1

2

)2+

1

2

∈[-4，

1

2

]，
所以a的取值范围是a＞-4．

点评：本题主要考查了存在性问题求参数的范围，本题中两个小题都是存在性，因为其转化的最终形式不一样，所以求其参数方式不一样，一是求最值，一是求值域．此类题一般难度较大，要求有较强的逻辑推理能力进行正确的转化．