Question

如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A、B及CD的中点P处，AB=20km，BC=10km。为了处理三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界），且与A、B等距离的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO、BO、PO。设排污管道的总长度为ykm。

（1）按下列要求建立函数关系：
（i）设∠BAO=θ（rad），将y表示为θ的函数；
（ii）设PO=x（km），将y表示成x的函数。
（2）请你选用（1）中的一个函数关系，确定污水处理厂的位置，使铺设的排污管道的总长度最短。

Answer 1

解：（1）（i）如图，延长PD交AB于点Q 由题设可知 AO=BO，PO=10-OQ 在Rt△AQO中， 所以 又易知 故y用θ表示的函数为。
（ii）由题设可知，在Rt△AQO中 则 显然0≤x≤10，所以y用x表示的函数为 ； （2）选用（1）中的函数关系 来确定符合要求的污水处理厂的位置 因为 所以 由y'=0得 因故 当时，y'<0 当时，y'>0， 所以函数y在时取得极小值，这个极小值就是函数y在上的最小值 当时， 因此，当污水处理厂建在矩形区域内且到A、B两点的距离均为km时，铺设的排污管道的总长度最短。