Question

6．已知函数f（x）=x³+ax²+1（a∈R），试讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

分析 求出f（x）的导函数，分解因式后，根据a＞0，a=0和a＜0，分别讨论导函数的正负即可得到函数的单调区间．

解答 解：∵f（x）=x³+ax²+1，a∈R
∴f′（x）=3x²+2ax=x（3x+2a），
①当a＞0时，由f′（x）＞0，得x＞0，或x＜-$\frac{2a}{3}$，
由f′（x）＜0，得-$\frac{2a}{3}$＜x＜0，
∴f（x）=x³+ax²的增区间为（-∞，-$\frac{2a}{3}$），（0，+∞），减区间为（-$\frac{2a}{3}$，0）．
②当a=0时，由f′（x）=3x²≥0恒成立，∴函数f（x）在（-∞，+∞）单调递增．
③当a＜0时，由f′（x）＞0，得x＞-$\frac{2a}{3}$，或x＜0，
由f′（x）＜0，得0＜x＜-$\frac{2a}{3}$，
∴f（x）=x³+ax²的增区间为（-∞，0），（-$\frac{2a}{3}$，+∞），减区间为（0，$\frac{2a}{3}$）．

点评 此题考查学生会根据导函数的正负判断得到函数的单调区间．解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论思想的合理运用．