Question

函数y=sin（πx+φ）（φ＞0）的部分图象如图所示，设P是图象的最高点，A，B是图象与x轴的交点，记∠APB=θ，则sin2θ的值是（　　）

• A．

  16

  65

• B．

  63

  65

• C．-

  16

  63

• D．-

  16

  65

Answer 1

分析：由解析式求出函数的周期与最值，做出辅助线过p作PD⊥x轴于D，根据周期的大小看出直角三角形中直角边的长度，解出∠APD与∠BPD的正弦和余弦，利用两角和与差公式求出sinθ，进而求得sin2θ．

解答：解：函数y=sin（πx+φ）
∴T=

2π

π

=2，
过p作PD⊥x轴于D，则AD是四分之一个周期，有AD=

1

2

，DB=

3

2

，DP=1，AP=

5

2

在直角三角形中有sin∠APD=

5

5

，cos∠APD=

2 5

5

；cos∠BPD=

2 13

13

，sin∠BPD=

3 13

13

∴sinθ=sin（∠APD+∠BPD）=

5

5

×

2 13

13

+

2 5

5

×

3 13

13

=

8 65

65

cosθ=

65

65

∴sin2θ=2sinθcosθ=2×

65

65

×

8 65

65

=

16

65

故选：A．

点评：本题考查三角函数的图象的应用与两角和的正切函数公式的应用，本题解题的关键是看出函数的周期，把要求正弦的角放到直角三角形中，利用三角函数的定义得到结果，本题是一个中档题目．