Question

已知椭圆C的中心为坐标原点O，一个长轴端点为（0，2），短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B，且

AP

=2

PB

．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意知，则焦点在Y轴上，且a=2，b=c，又由a²=b²+c²，联立即可求得椭圆的方程；
（2）由于直线与椭圆相交且有两个互异的交点，故直线斜率存在．联立直线方程与曲线方程，根据方程的根与系数的关系，得到与斜率有关的含参数m等价关系，求出m即可．

解答：解：（Ⅰ）由题意知椭圆的焦点在Y轴上，设椭圆方程为

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)，
由题意知a=2，b=c，又a²=b²+c²，则b=

2

，
所以椭圆方程为

y2

4

+

x2

2

=1--------------------------------------（4分）
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由题意，直线l的斜率存在，
设其方程为y=kx+m，与椭圆方程联立
即

y2+2x2=4 y=kx+m

，
则（2+k²）x²+2mkx+m²-4=0，△=（2mk）²-4（2+k²）（m²-4）＞0
由韦达定理知

x1+x2=- 2mk 2+k2 x1•x2= m2-4 2+k2

；--------------------------（6分）
又

AP

=2

PB

，即有（-x₁，m-y₁）=2（x₂，y₂-m），
∴-x₁=2x₂，
∴

x1+x2=-x2 x1•x2=-2x22

，
∴

m2-4

2+k2

=-2(

2mk

2+k2

)2--------------------------------------------（8分）
整理得（9m²-4）k²=8-2m²
又9m²-4=0时不成立，所以k2=

8-2m2

9m2-4

＞0--------------------（10分）
得

4

9

＜m2＜4，此时△＞0
所以m的取值范围为（-2，-

2

3

）∪(

2

3

，2)．----------------------------（12分）

点评：本题主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系，这是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考试具备较强的运算推理的能力，关键是看清题中给出的条件，灵活运用韦达定理进行求解．解决此类问题的必须熟悉曲线的定义和曲线的图形特征，这也是高考常考的知识点．