Question

设函数f（x）=lnx-x+1，
（1）求f（x）的单调区间；
（2）求证：lnx≤x-1．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：计算题,证明题,导数的综合应用

分析：（1）先求函数的定义域（0，+∞），再求导f′(x)=

1

x

-1；从而确定单调区间．
（2）由（1）知f（x）在（0，1）上为增函数，在（1，+∞）为减函数，从而化为最值问题．

解答： 解：（1）由已知得x∈（0，+∞），
f′(x)=

1

x

-1；
令f'（x）＞0，得

1

x

-1＞0，
解得0＜x＜1，
∴f（x）在（0，1）上为增函数，
令f'（x）＜0，得

1

x

-1＜0，
解得x＞1，所以f（x）在（1，+∞）为减函数．
（2）证明：由（1）知：
∵f（x）在（0，1）上为增函数，在（1，+∞）为减函数．
∴当x=1时，f（x）_max=-1+1=0；
对任意x∈（0，+∞），有f（x）≤0，
即lnx-x+1≤0．
即lnx≤x-1．

点评：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题的处理方法应用，属于中档题．