Question

若数{a_n}中，a_n=

1

n(n+1)

，其前n项的和是

9

10

，则在平面直角坐标系中，直线（n+1）x+y+n=0在y轴上的截距为

-9

．

Answer 1

分析：数列{a_n}中，a_n=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，故S_n=

n

n+1

，由{a_n}前n项的和是

9

10

，解得n=9．由此能求出直线（n+1）x+y+n=0在y轴上的截距．

解答：解：∵数列{a_n}中，a_n=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n
=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）
=1-

1

n+1

=

n

n+1

，
∵{a_n}前n项的和是

9

10

，
∴

n

n+1

=

9

10

，∴n=9．
∴直线（n+1）x+y+n=0为10x+y+9=0，
∵x=0时，y=-9，
∴直线（n+1）x+y+n在y轴上的截距为-9．
故答案为：-9．

点评：本题考查直线在y轴上截距的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意裂项求和法的合理运用．