Question

如图：四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB，
（1）求证CE⊥平面PAD；
（2）若

AD

=2

AE

，F为PD的中点，求证CF∥平面PAB
（3）若PA=AB=1，AD=3，CD=

2

，∠CDA=45°，求四棱锥P-ABCD的体积．

Answer 1

分析：（I）由线面垂直的判定与性质，结合已知条件证出PA⊥CE且CE⊥AD，根据直线与平面垂直的判定定理，即可证出CE⊥平面PAD；
（II）连结EF，利用三角形中位线定理证出EF∥PA，进而得出EF∥平面PAB，同理得到CE∥平面PAB，从而得出平面CEF∥平面PAB，得CF∥平面PAB；
（III）由（I）可知CE⊥AD，利用三角函数算出AB=CE=1，可得四边形ABCE为矩形，进而算出四边形ABCD的面积．再由P到平面ABCD的距离PA=1，利用锥体的体积公式加以计算，可得四棱锥P-ABCD的体积．

解答：解：（I）∵PA⊥平面ABCD，CE?平面ABCD，∴PA⊥CE，
∵AB⊥AD，CE∥AB，∴CE⊥AD
又∵PA∩AD=A，∴CE⊥平面PAD
（II）连线EF
∵

AD

=2

AE

，F为PD的中点，
∴EF为△PAD的中位线，得EF∥PA
∵EF?平面PAB，PA?平面PAB，
∴EF∥平面PAB，
同理可得CE∥平面PAB，
∵EF、CE是平面CEF内的相交直线，
∴平面CEF∥平面PAB，
结合CF?平面CEF，得CF∥平面PAB；
（III）由（I）可知CE⊥AD
在Rt△ECD中，DE=CDcos45°=1，CE=CDsin45°=1，
又∵AB=CE=1，AB∥CE，
∴四边形ABCE为矩形，BC=AE=AD-DE=2
因此，四边形ABCD的面积为S=S_矩形ABCE+S_△CDE=1×2+

1

2

×1×1=

5

2

又∵PA⊥平面ABCD，PA=1
∴四棱锥P-ABCD的体积为V_P-ABCD=

1

3

S_ABCD×PA=

5

6

．

点评：本题着重考查了空间直线与直线、直线与平面的位置关系，几何体的体积求法等知识，属于中档题．同时考查了空间想象能力、推理论证能力、运算求解的能力和数形结合、化归与转化的数学思想．