Question

【题目】已知函数 ， ． 在 上有最大值9，最小值4．
（1）求实数 的值；
（2）若不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围；
（3）若方程 有三个不同的实数根，求实数 的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数 的对称轴为 ，又 ，所以 在 上单调递增，
，解得
（2）解： ， ，令 ，则 ，
不等式 可化为 ，所以，问题等价于 在 上恒成立，
因为 ，则： ，所以：
（3）解：令 ，图像如下：

则方程 有三个不同的实数根，等价于关于 的方程 有两个不等根，其中一根等于1，一根大于0且小于1，或者一根大于1，一根大于0且小于1．将 整理成： ，
若一根等于1，一根大于0且小于1，将 代入得 ，此时， 只有唯一的根，不符要求，
所以，情况为：一根大于1，一根大于0且小于1，
令 ，则需满足 ，解得 ．综上所述： 为所求
【解析】(1)由一元二次函数的性质可得该二次函数的对称轴为x=1，故可得 f ( x ) 在 x ∈ [ 3 , 4 ] 上单调递增，结合二次函数图像的特点限制边界点的函数值进而得到关于a、b的方程组，解出其值即可。(2)由(1)的结果得到f(x) 的解析式，再由题意得到F（x）的解析式。利用整体思想设t=log2 x，根据已知的x的取值范围得出t的取值范围，由此已知的不等式即可转化为 k ≤ + 1 在 t ∈ [ , 2 ] 上恒成立的问题，借助二次函数在指定区间上的最值情况即可得出结果。(3)利用数形结合法结合已知条件得出方程有两个不等根，其中一根等于1，一根大于0且小于1，或者一根大于1，一根大于0且小于1，利用二次函数根的情况限制边界点的函数值，进而得到关于λ 的不等式组解出其取值范围即可。